N° 1063
Numérique
11-07-2018
Puissants et jumeaux
Alice a découvert dans une lecture la notion de « nombre puissant ». Il s’agit d’un nombre entier strictement positif n dont tous les diviseurs premiers interviennent au moins à la puissance 2 dans la factorisation de n.
Ainsi, les carrés, les cubes, leurs produits… sont des nombres puissants.
Elle a même trouvé quelques couples de nombres puissants « jumeaux » (distants d’une unité) inférieurs à 300.
1. Quels sont ces couples ?
Bob, qui s’est intéressé au sujet, fait la remarque suivante : « On pourrait chercher les nombres entiers positifs x tels que x2 – 1 soit un nombre puissant. x2 et x2 – 1 seraient alors puissants et jumeaux ».
Aussitôt dit, aussitôt fait, mais la recherche s’annonce délicate.
Après quelques échecs, il se concentre sur les nombres x impairs tels que x2 – 1 soit puissant.
2. Quels sont ceux qui sont plus petits que 750 ? Combien existe-t-il de couples de nombres puissants jumeaux ?
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