Un produit qui vaut une belle somme
Alice et Bob aiment jouer avec les nombres. Ce jour-là, ils ont inventé le jeu suivant. Ils tirent au sort un nombre entier N. Il s’agit alors de répartir les entiers de 1 à N en deux familles : une première, dont on calcule la somme, et une seconde (son complément), dont on calcule le produit. Le but est d’obtenir deux nombres égaux.
1. Lors du premier tirage, N = 10. Est-il possible de choisir une famille de quatre nombres dont le produit est égal à la somme des (six) nombres restants ? Et une famille de trois nombres ?
2. Lors d’un deuxième tirage, N = 49. Est-il possible de choisir une famille de trois nombres dont le produit est égal à la somme des (quarante-six) nombres restants ?
3. Y a-t-il des valeurs de N pour lesquelles une telle famille de trois nombres n’existe pas ?
